# Part 1. 기초 필수 수학

## Chapter 1 벡터 대수

그람-슈미트 직교화 : 벡터 집합에서 서로 정사영 벡터 계속 빼고 빼서 정규 직교 집합 만드는 과정

### 1.6 DirectXMath 라이브러리의 벡터

SIMD (Single Instruction, Multiple Data) 명령 : 명령어 한 개로 데이터 여러 개 동시 처리

DirectXMath : Direct3D를 위한 표준 3D 수학 라이브러리

### **1.6.1 벡터 형식들**

`XMVECTOR`

* 32비트 부동소수점 값 네 개. SIMD로 한꺼번에 처리 가능.
* 메모리 저장할 때 주소가 16의 배수여야 함.
* 그래서 지역 변수나 전역 변수가 아니라 클래스 자료 멤버에는 이 형식 대신 `XMFLOAT2`나 `XMFLOAT3` 등을 사용하는게 권장됨.
* `XMFLOAT2` 같은 거 SIMD로 연산하려면 `XMVECTOR` 형식으로 변환해야됨
* 포인터로 선언하면 되는거 아닌가 생각했는데, 매뉴얼피셜로 가능은 하지만 그냥 저장할 땐 `XMFLOATn` 쓰는게 좋다고 함.
* `XMFLOATn`를 `XMVECTOR`로 변환해서 연산 > `XMFLOATn`으로 변환하여 다시 저장

### **1.6.2 적재 및 저장 함수**

적재 함수 : `XMVECTOR XM_CALLCONV XMLoadFloat2(const XMFLOAT2 *pSource);` 저장 함수 : `void XM_CALLCONV XMStoreFloat2(XMFLOAT2 *pDestination, FXMVECTOR V);` (성분 하나만) 조회 함수 : `float XM_CALLCONV XMVectorGetX(FXMVECTOR V);` (성분 하나만) 설정 함수 : `XMVECTOR XM_CALLCONV XMVectorSetX(FXMVECTOR V, float x);`

### **1.6.3 매개변수 전달**

`XMVECTOR` 인스턴스가 함수 인자로 들어갈 때 값이 스택이 아니라 SSE/SSE2 레지스터를 통해 함수에 전달돼야 함. (효율적으로 정렬 보장하기 위해) 일단 플랫폼/컴파일러 의존성 없애려면 `XM_CALLCONV`라는 호출 규약 지시자 붙여야 됨. 몇 번째 매개변수냐에 따라 형식을 다르게 지정. (`GXMVECTOR`, `HXMVECTOR` 등) 생성자면 지시자도 안 붙이고 규칙도 다름.

### **1.6.4 상수 벡터**

상수(const) `XMVECTOR` 인스턴스에는 `XMVECTORF32` 형식을 사용해야 함. {0.0f,0.0f,0.0f,0.0f) 같이 특정한 값으로 초기화하려고 할 땐 `XMVECTOR` 안되고 `XMVECTORF32` 써야 함. `XMVECTOR`는 함수로 초기화해야됨.

### **1.6.5 overloading된 연산자들**

`XMVECTOR XM_CALLCONV operator+ (FXMVECTOR V);`

c++은 operator+ 이런식으로 연산자를 오버로딩해서 커스텀 자료형로도 연산자로 연산할 수 있음.

`XMVector3ComponentsFromNormal(&projW, &perpW, w, n);` : w를 n 기준으로 직교 분해

### **1.6.9 부동 소수점 오차**

정규화같은 거 할 때 부동소수점으로 표현되니까 수치 오차 발생한다. 작은 상수 (Epsilon) 정의해놓고 오차가 그것보다 작은지로 판단. 아니면 `XMVector3NearEqual()`이라는 함수도 있다.

## Chapter 2 행렬 대수

소행렬 : 행이랑 열 제거한 행렬

여인수행렬 : 각 성분 여인수 계산해서 같은 위치에 배치한 행렬 딸림행렬 : 여인수 행렬의 전치 행렬. 행렬식으로 나누면 원본 행렬의 역행렬 나옴.

행렬식 : 그 행렬이 공간을 얼마나 늘리고 뒤집는지 나타내는 값

내적은 전치한 행렬과의 곱으로 표현 가능

### 2.8 DirectXMath의 행렬

`XMMATRIX` : 4x4 행렬 표현 `XMFLOAT4X4` : 행렬 저장할 때 사용

함수 매개변수는 `XMVECTOR`랑 비슷한데, `XMMATRIX`는 매개변수 하나가 `XMVECTOR` 매개변수 네 개에 해당.

호출 규약 : 함수 호출할 때 인자를 레지스터, 스택 어디에 저장할지, 호출자, 피호출자 누가 정리할지, 반환값 어디에 둘지 정의하는 규칙 `XM_CALLCONV` 호출규약을 지정하는 이유 : SIMD 벡터를 레지스터로 직접 전달하고, `XMVECTOR`의 16바이트 정렬도 하기 위해

## Chapter 3 변환

### 3.1 선형 변환

비례 변환 : 각 성분에 곱한거 회전 변환

* 기준축에 평행 성분 수직 성분 나눔 > 수직 성분이랑 평행 선분 외적한 걸로 수직 성분하고 같이 2차원 좌표계 생성 > 평행 성분은 돌릴 필요 없으니까 수직 성분만 2차원 좌표계 생성한 걸로 분해 > 그걸로 평행 성분 수직 성분 나눴던 식 전개 > 스칼라곱이 선형인 건 자명하고, 외적도 선형임. 고로 회전 변환은 선형임.
* 회전행렬 각 행벡터는 단위 길이이고, 서로 직교함. 직교 행렬이므로 역행렬이 자신의 전치행렬과 같음.
* 축 벡터는 정규화하고 넣어야 됨

원점 이동시키지 않으면 선형 변환, 이동시키면 아핀 변환.

### 3.2 아핀 변환

아핀변환

* 선형변환 + 이동변환 (t(u) + b)
* 벡터는 이동에 불변이지만, 동차 좌표 (w 성분 추가한 거) 이용하면 점처럼 다룰 수 있음.
* w = 0이면 벡터, w = 1이면 점. 이동 변환은 w = 0이면 무시할 수 있기 때문.
* 이러면 벡터끼리 빼면 점, 점에 벡터 더하면 점 됨.

항등변환

* 주어진 인수를 그대로 돌려주는 선형 변환. 행렬로 표현하면 단위행렬.
* 이동변환은 아핀변환에서 선형변환 부분을 단위행렬로 바꾼 것과 같음
* 반대로, 선형변환은 아핀변환에서 이동변환을 영벡터로 둔 것

### 3.4 좌표 변경 변환

벡터 : 좌표계 A의 방향 단위벡터를 좌표계 B에 상대적으로 표현하면 변환 완료 점 : 벡터 좌표계 변환에 원점 상대적 좌표도 추가 아핀 변환 행렬처럼 표현 가능. 사실 둘이 동치임. 더 자연스러운 해석으로 설명하는 것.


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